Bintang di langit

MATEMATIKA

19.05 |

BAB I

LINGKARAN

A. Pengertian Lingkaran

Lingkaran merupakan himpunan titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut pusat lingkaran. Banyak di sekitar kita benda-benda yang berbentuk lingkaran, misalnya jam dinding, ban motor atau ban mobil, setir mobil, cincin, dan gelang. Benda tersebut bisa kita temui setiap hari. Jadi lingkaran adalah suatu garis lengkung yang kedua ujungnya dan semua titik yang terletak pada garis lengkung tersebut mempunyai jarak yang sama jauh terhadap suatu titik tertentu yaitu titik pusat lingkaran.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal3.jpg

Titik PQRS terletak sama jauh terhadap titik O.

Titik O merupakan titik pusat lingkaran.

Panjang garis lengkung yang kedua ujungnya bertemu disebut keliling lingkaran.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal4.jpg

Daerah yang terdapat di dalam lingkaran disebut luas lingkaran:

· Titik P pada lingkaran ini merupakan pusat lingkaran

· PA, PB, PC dan PD disebut jari-jari atau radius (r)

· AB adalah garis tengah atau diameter (d) garis lurus yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran dan melalui pusat lingkaran (titik P)

B. Unsur-unsur Lingkaran

1. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.

2. Jari-Jari

Jari-jari lingkaran adalah jarak antara titik pusat lingkaran dan titik pada tepi lingkaran.

3. Busur

Busur lingkaran merupakan garis melengkung yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

4. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.

5. Diameter (d)

Diameter adalah tali busur yang melalui pusat lingkaran.

6. Juring

Juring lingkaran adalah daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut.

7. Tembereng

Tembereng adalah daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur.

8. Apotema

Apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur.

Sifat-sifat lingkaran :
a. Lingkaran merupakan kurva tertutup sederhana
b. Lingkaran mempunyai titik pusat
c. Lingkaran mempunyai garis tengah (diameter) yang panjangnya 2 kali jari-jari
d. Jari-jari lingkaran adalah jarak dari titik pusat ke tepi lingkaran

e. Tidak mempunyai titik sudut dan jumlah sudutnya adalah 360 derajat

f. Kelilingnya = 2πr atau πd

g. Mempunyai simetri lipat yang tidak terhingga

h. Mempunyai simetri putar yang tidak terhingga

C. Menentukan Keliling Lingkaran

Ada beberapa cara untuk menentukan keliling sebuah lingkaran, diantaranya yaitu:

1. Dengan melilitkan tali/pita pada lingkaran

Ambil sebuah benda yang permukaanya berbentuk lingkaran, misal benda ini.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal5a.jpg

Sediakan seutas pita, tali atau benang.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal5b.jpg

Lilitkan tali tersebut mengelilingi tepi permukaan benda tadi sampai tali menutup semua tepi permukaannya dan ujung-ujung tali bertemu.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal5c.JPG

Lepaskan tali dari tepi benda tadi.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal6a.jpg

Ukurlah panjang tali tersebut dengan mistar.

Panjang tali yang didapat merupakan keliling benda tersebut.

2. Dengan menggelindingkan Lingkaran

Disediakan sebuah lingkaran (gambar sebuah gelang).

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal7a.jpg

Coba anda beri sebuah tanda pada tepi benda tesebut.
Himpitkan tanda pada benda tersebut dengan tanda yang berada di permukaan meja
(misal titik A).

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal7b.jpg

Gulingkan benda lurud ke depan sampai tanda pada benda kembali berada di permukaan meja, beri tanda pada permukaan meja tepat berimpit dengan tanda pada benda (misal titik B). ukurlah jarak yang dilalui benda (dari titik A ke titik B)dengan mistar. Jarak yang didapat merupakan keliling benda tersebut.

3. Menentukan keliling lingkaran bila diameter belum diketahui

Caranya:

Coba jiplak sebuah lingkaran pada selembar karton.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal9a.jpg

Setelah itu, guntinglah sekeliling lingkaran hasil jiplakan tersebut.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal9b.jpg

Guntinglah jiplakan akan berupa lembaran karton berbentuk lingkaran seperti ini.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal9c.jpg

Lipatlah karton lingkaran menjadi 2 bagian dengan tepat hingga saling menutup.
Bekas lipatan pada lingkaran, merupakan garis tengah atau diameter lingkaran.

Ukurlah bekas lipatan tadi dengan mistar. Panjang yang didapat merupakan diameter lingkaran karton.

Selain cara diatas, kita dapat mengukur keliling lingkaran dengan lebih efektif dan efisien.

Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki diameter 9 meter. Ali berlari mengelilingi taman itu satu kali putaran. Berapa meter jarak yang telah ditempuh Ali? Jarak yang ditempuh Ali sama dengan keliling taman.

1. Sediakan minimal 4 lingkaran berlainan ukuran beserta ukuran panjang diameter dan kelilingnya.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal12a.jpg

2. Tabel

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal12b.jpg

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/r13.jpg

Jika teliti maka akan memperoleh nilai yang sama untuk setiap perbandingan keliling dan diameter pada setiap lingkaran. Nilai tersebut jika dibulatkan adalah 3,14. Nilai inilah yang disebut nilai

Bila K = panjang keliling lingkaran Jika dihitung 22 dibagi dengan 7 adalah 3.142857142857142857… (desimal berulang dengan 142857). Oleh karena itu

= 3,14 maka nilai

juga dapat dinyatakan dengan

d = diameter lingkaran
r = jari-jari lingkaranv

maka perbandingan keliling lingkaran terhadap diameternya adalah

atau ditulis

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/r14b.jpg

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/hal14.jpg

Perlu diketahui jika pada lingkaran mempunyai mempunyai faktor 7 maka

lebih mudah menggunakan dengan

D. Luas Lingkaran

Luas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Bagaimana menghitung luas lingkaran?

Bagi lingkaran menjadi 12 juring. Salah satu bagian juring dibagi lagi 2 bagian sama besar. Susun potongan-potongan tersebut sehingga menjadi persegi panjang.

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/r25.jpg

http://bimbinganbelajar.net/lingkaran/images/r26.jpg

E. Contoh Soal

1. Sebuah ban mobil memiliki panjang jari-jari 30cm. Ketika mobil berjalan, ban mobil tersebut berputar sebanyak 100 kali. Tentukan:

a. Diameter ban mobil

b. Keliling ban mobil

c. Jarak yang ditempuh mobil

Jawaban:

Diketahui r = 30 cm.

a. Panjang diameter lingkaran adalah 2 kali jari-jari lingkaran. Jadi d = 2x30 cm = 60 cm.

Jadi panjang diameter ban mobil = 60 cm.

Maka K = 3,14x60 cm = 188,4 cm

c. Jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali

Jarak = keliling x banyak putaran

Jarak = 188,4 cm x 100 = 18.840 cm

Jadi, jarak yang ditempuh ketika ban mobil berputar 100 kali adalah 18,84 m.

2. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 5 m dan lebar 3 m. Di dalam taman tersebut terdapat sebuah kolam berbentuk seperempat lingkaran dengan panjang diameter 3 m. Taman tersebut akan ditanam rumput kecuali kolamnya. Jika biaya penanaman rumput tersebut adalah Rp. 35.000 untuk tiap 1m², hitunglah biaya penanaman rumput tersebut!

Jawaban:

Luas = L persegi panjang – ¼ L lingkaran

Biaya penanaman rumput = 13,24 x Rp. 35.000 = Rp. 463.400

BAB II

SEGI BANYAK

A. Pengertian Segi Banyak

Segi banyak adalah suatu kurva sederhana tertutup yang dibentuk oleh (terdiri atas) gabungan ruas-ruas garis. Segmen garis-segmen garis yang telah membentuk segi banyak dinamakan sisi. Segi banyak paling sedikit memiliki tiga sisi dinamakan segitiga. Segi banyak dengan empat sisi dinamakan segi empat, dan begitu seterusnya. Apabila sisi dan sudut segi banyak berukuran sama, segi banyak tersebut dinamakan segi banyak beraturan. Segi banyak adalah merupakan bangun datar yang terbentuk dari 5 atau lebih ruas garis. Ada dua macam segi banyak, yaitu segi banyak beraturan dan segi banyak tidak beraturan. Pada segi banyak beraturan, sisi-sisinya sama panjang dan semua daerah sudutnya sama besar.

B. Unsur-unsur Segi Banyak

Unsur-unsur dari segi banyak yaitu:

· Terdapat sisi sama paling sedikit 3

· Tersususun dari beberapa bangun datar

· Mempunyai titik sudut paling sedikit 3

C. Menentukan Keliling Segi Banyak

1. Segi lima adalah segi banyak yang memiliki lima sisi, di mana semua sisinya memiliki panjang yang sama dan seluruh sudutnya sama besar (108°).

2. Segi enam beraturan adalah suatu segi enam dengan panjang sisi dan besar sudut dalam yang sama. Sudut dalam pada segi enam beraturan adalah 120°. Segi enam beraturan memiliki enam simetri garis. Sejumlah segi enam dapat disusun bersama-sama dengan cara mempertemukan tiga segi enam pada masing-masing salah satu sudutnya.

Untuk menentukan Keliling segi banyak, dapat kita hitung dengan menjumlahkan sisi-sisi yang membentuk suatu bangun segi banyak itu sendiri.